一、數(shù)學新觀念往往不因創(chuàng)造者的刻意經(jīng)營而產(chǎn)生，而是與其努力方向正好相反的副產(chǎn)品
十八世紀末的意大利數(shù)學家Saccheri為了證明歐氏幾何是唯一的「真理」，從銳角假設出發(fā)，得出許多前所未聞的結果。殊不知他努力的結果，卻使非歐幾何學呈現(xiàn)一線曙光（注一）。Hamilton是另外一個例子，他看到二維的向量可以看成復數(shù)，和實數(shù)一樣，可以做四則運算。所以他想在三維的向量中也引進四則運算。他奮斗了十幾年，卻毫無進展。直到有一天，靈光一現(xiàn)，放棄了乘法中交換律的要求，而創(chuàng)造了四元數(shù)（不是三維，而是四維）。
二、許多數(shù)學新觀念雖然在邏輯上沒有問題，但在其出現(xiàn)初期卻遭到頑強的抗拒，要經(jīng)過好一陣子方為大家所接受
不可共約比在兩千多年前就出現(xiàn)了，但據(jù)說它的發(fā)現(xiàn)者Hippasus卻遭到畢氏學派同門的放逐。解決不可共約比的實數(shù)觀念一直要到十九世紀才為大家所接受。負數(shù)的平方根從1543年在Cardano公式中出現(xiàn)，直到1830年代，都是遭人詈罵，被人抗拒的對象。詭辯的、無聊的、無可理解的、虛幻的、不可能的等等，這些形容詞都曾加在至今仍被稱為“虛”數(shù)的身上（注二）。
三、許多新觀念一時無法在邏輯上講得清楚因而遭到抗拒，但由于其有用性，而使得數(shù)學家不得不容納它們──縱使在很不情愿的情況之下
虛數(shù)當然是個最好的例子。向量的系數(shù)積與矢量積并不起于有意的發(fā)展，而是四元數(shù)的計算中習慣用法的延伸。集合論說有理數(shù)個數(shù)和自然數(shù)個數(shù)一樣多，但又說實數(shù)個數(shù)比有理數(shù)個數(shù)還要多;無論是從包含的觀點或從無窮多的觀點來看，上述兩種說法似乎互相矛盾。而且集合論的濫用，還會導出任誰都無法接受的真矛盾。但另一方面，有了集合論，許多數(shù)學敘述及推理變得更加言簡意賅，無窮觀念因而有了層次之分（并不是所有的無窮多都一樣）。濫用引起不安，但好用卻使人不得不接納。
四、教科書中，許多數(shù)學領域之有條不紊的呈現(xiàn)，經(jīng)常是該領域發(fā)展后期才有的，而且之所以走上嚴謹?shù)牡缆�，并不是�?chuàng)造者有意的尋求，而是不得不然耳
牛頓與萊布尼茲在乎的是發(fā)展微積分，并沒給微積分立下嚴格的邏輯架構。他們一定不喜歡現(xiàn)今微積分課本的一絲不茍，甚至有些地方還看不懂呢！一般學生如果無法領會微積分的要意，往往會在它的邏輯問題上打轉(zhuǎn)；學者對無窮小的攻擊；學者希望微積分也像平面幾何那樣的有條有理。這些外在的因素才是促使微積分在十九世紀走向嚴格化的動力。嚴格的要求而且是漸近的。M.Kline曾說：“可能除了數(shù)論之外，在1800年之前，數(shù)學中沒有那一分支所給的證明，以1900年的標準而言，是令人滿意的，而1900年的標準，在今天也不適用了。”也許你會認為平面幾何是個例外，其實直到1899年Hilbert才真正把其公理化做得徹底。
五、在同一個時期，數(shù)學家對數(shù)學知識的認定是多層的。一個數(shù)學家雖然不一定有明確的數(shù)學形上學觀，但在他的作品中或在他的教學中就會有較明確的表白
二十世紀有所謂的直觀學派、形式學派及邏輯學派之爭。大多數(shù)的數(shù)學家不一定確屬那一學派，但在其作品中有時可以看出來，他是比較贊同那一種觀點。此外，我們對于一個領域、一個定理的內(nèi)容、一個定理的證明，有時會加上漂亮的、丑陋的、有意思的、無聊的、好的、壞的等等形容詞，這些都帶有數(shù)學形上學的觀點。
六、一個新的數(shù)學觀念，其為人接受的程度，往往要看創(chuàng)造者的名氣，尤其以打破傳統(tǒng)的觀念為然
Lobachevsky及Bolyai的非歐幾何學，就像它們的作者一樣默默無聞。Gauss死后，其有關非歐幾何學的信件一經(jīng)發(fā)表，這門新學問，才像Gauss生前的名聲，一下子發(fā)展得紅得發(fā)紫（注三）。
七、數(shù)學的創(chuàng)見往往在原來問題所限定的范圍外成長。要突破自我設限卻是件不容易的事
Hamilton認為他的四元數(shù)與微積分一樣重要，是數(shù)學物理的主要工具。其實發(fā)明四元數(shù)的重要性不是四元數(shù)本身，而在于其影響代數(shù)的運算觀念。在此之前，無論是實數(shù)或復數(shù)，四則運算都有其既定的規(guī)矩。四元數(shù)的乘法交換律不成立，使人逐漸覺悟運算的規(guī)矩可因需要而有不同的要求。這樣向量代數(shù)的觀念及運算才變成可能，而向量代數(shù)才是數(shù)學物理的主要工具之一。如此一來，代數(shù)學的觀念與目的才變得更自由、更寬廣。
八、好幾個人同時而又獨立地發(fā)現(xiàn)數(shù)學新觀念，這是常態(tài)而不是例外
Descartes及Fermat的解析幾何（注四），牛頓及萊布尼茲的微積分，Lobachevsky及Bolyai的非歐幾何學（注五），Dedekind、Weierstrass及Cantor等人的實數(shù)理論都是耳熟能詳?shù)睦樱ㄗ⒘?/font>
九、歷來數(shù)學家總是擁有許許多多的技巧，以消解或避免邏輯矛盾所引起的問題，而使數(shù)學免于產(chǎn)生危機
科學史名著T.Kuhn的《科學革命的結構》(TheStructureofScientificRevolutions)就指出科學家用來防止異例引起危機的許多策略。I.Lakatos在《證明與否證》(ProofsandRefutations)的書中，也一再說明數(shù)學家應付危機也有許多法寶，“不讓怪物進來”就是名字生動的一招。面對不可共約量，希臘數(shù)學家就說非比量（無理量）不是數(shù)，然后發(fā)明一套比例論來解決問題。面對微積分的基礎問題，d'Alembert叫學生不要氣餒，說持之有恒地用微積分，自然對微積分會有信心。集合論有問題，就設法為集合論設限，使其不產(chǎn)生危機。
十、數(shù)學從來沒發(fā)生過革命
哥白尼的太陽中心說推翻了統(tǒng)治天文學千余年的地球中心說，使天文學掀起了革命。數(shù)學史上改朝換代的事情并未發(fā)生過。研究平行公理的結果雖然產(chǎn)生了許許多多非歐幾何，但歐氏幾何并沒被推翻掉，它仍然是數(shù)學的知識。Hankel說過：“在大部分的科學學門中，新一代的科學家會把前一代所建立的理論推翻，……。只有在數(shù)學中，新一代的數(shù)學家是在舊有的基礎上再添蓋更高的樓層。”Fourier也說過：“數(shù)學這門科學是慢慢形成的，但只要一旦獲得某種原理，就一直擁有著它；在人類思維的種種變異與錯誤之中，數(shù)學逐漸成長而茁壯。”
轉(zhuǎn)自(曹亮吉)
