容斥原理
容斥問題涉及到一個(gè)重要原理——包含與排除原理，也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。
容斥原理：對(duì)n個(gè)事物，如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖），那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=Na＋Nb－Nab。
例1：一個(gè)班有48人，班主任在班會(huì)上問：“誰做完語文作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。
分析與解答 完成語文作業(yè)的有37人，完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人數(shù)。這是因?yàn)檎Z文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計(jì)做完語文作業(yè)的人數(shù)時(shí)算過一次，在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時(shí)又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個(gè)班語文、數(shù)作業(yè)都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中，答對(duì)第一題的有25人，答對(duì)第二題的有23人，兩題都答對(duì)的有15人。問多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？
分析與解答：已知答對(duì)第一題的有25人，兩題都答對(duì)的有15人，可以求出只答對(duì)第一題的有25－15=10人。又已知答對(duì)第二題的有23人，用只答對(duì)第一題的人數(shù)，加上答對(duì)第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對(duì)的人數(shù)：10＋23=33人。所以，兩題都答得不對(duì)的有36－33=3人。
例3：某班有56人，參加語文競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那么同時(shí)參加語文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？
分析與解答：要求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)，應(yīng)先求出至少參加一科競(jìng)賽的人數(shù)：56－25=31人，再求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？
分析與解答：從1到100的自然數(shù)中，減去5或6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。從1到100的自然數(shù)中，5的倍數(shù)有100÷5=20個(gè)，6的倍數(shù)有16個(gè)（100÷6=16……4），其中既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)（即5和6的公倍數(shù)）的數(shù)有3個(gè)（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是16＋20－3=33個(gè)，既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：100－33=67個(gè)。
例5：光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有24幅不是五年級(jí)的，有22幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品共有10幅，其他年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？
分析與解答：由題意知，24幅作品是一、二、三、四、六年級(jí)參展作品的總數(shù)，22幅是一、二、三、四、五年級(jí)參展作品的總數(shù)。24＋22=46幅，這是一個(gè)五、六年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展的作品數(shù)，從其中去掉五、六兩個(gè)年級(jí)共參展的10幅作品，即得到兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)，再除以2，即可求出其他年級(jí)參展作品的總數(shù)。（24＋22－10）÷2=18幅。
▍
▍標(biāo)簽：小學(xué)奧數(shù)網(wǎng)
▍更多內(nèi)容請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)平臺(tái)：小學(xué)奧數(shù)網(wǎng) ID：xxas100
在看是一種動(dòng)力，分享是一種美德 ！
來源：小學(xué)奧數(shù)網(wǎng)
