中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識講解+例題解析+強化訓(xùn)練
用函數(shù)的觀點看方程（組）與不等式
◆知識講解
1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系
一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系，函數(shù)y=ax+b（a≠0，a，b為常數(shù)）中，函數(shù)的值等于0時自變量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所對應(yīng)的坐標(biāo)（－，0）是直線y=ax+b與x軸的交點坐標(biāo)，反過來也成立；直線y=ax+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．
2．坐標(biāo)軸的函數(shù)表達式
函數(shù)關(guān)系式x=0的圖像是y軸，反之，y軸可以用函數(shù)關(guān)系式x=0表示；函數(shù)關(guān)系式y=0的圖像是x軸，反之，x軸可以用函數(shù)關(guān)系式y=0表示．
3．一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系
一般地，每個二元一次方程組，都對應(yīng)著兩個一次函數(shù)，于是也就是對應(yīng)著兩條直線，從“數(shù)”的角度看，解方程相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這兩函數(shù)值是何值；從形的角度考慮，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點坐標(biāo)，所以一次函數(shù)及其圖像與二元一次方程組有著密切的聯(lián)系．
4．兩條直線的位置關(guān)系與二元一次方程組的解
（1）二元一次方程組有唯一的解直線y=k1x+b1不平行于直線y=k2x+b2 k1≠k2．
（2）二元一次方程組無解直線y=k1x+b1∥直線y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．
（3）二元一次方程組有無數(shù)多個解直線y=k1x+b1與y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．
◆例題解析
例1 （2006，長河市）我市某鄉(xiāng)A，B兩村盛產(chǎn)柑橘，A村有柑橘200t，B村有柑橘300t．現(xiàn)將這些柑橘運到C，D兩個冷藏倉庫，已知C倉庫可儲存240t，D倉庫可儲存260t；從A村運往C，D兩處的費用分別為每噸20元和25元，從B村運往C，D兩處的費用分別為每噸15元和18元，設(shè)從A村運往C倉庫的柑橘重量為xt，A，B兩村運往兩倉庫的柑橘運輸費用分別為yA元和yB元．
（1）請?zhí)顚懴卤?，并求?/font>yB，yA與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
C
D
總計
A
xt
200t
B
300t
總計
240t
260t
500t
（2）試討論A，B兩村中，哪個村的運費較少；
（3）考慮到B村的經(jīng)濟承受能力，B村的柑橘運費不得超過480元．在這種情況下，請問怎樣調(diào)運，才能使兩村運費之和最??？求出這個最小值．
【分析】（1）根據(jù)運輸?shù)膰崝?shù)及運費單價可寫出y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（2）欲比較yA與yB的大小，應(yīng)先討論yA=yB的大小，應(yīng)先討論yA=yB或yA>yB或yA<yB時求出x的取值范圍．
（3）根據(jù)已知條件求出x的取值范圍．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知在此范圍內(nèi)，兩村運費之和是如何變化的，進而可求出相應(yīng)的值．
【解答】（1）
C
D
總計
A
xt
（200－x）t
200t
B
（240－x）t
（60+x）t
300t
總計
240t
260t
500t
yA=－5x+5000（0≤x≤200），yB=3x+4680（0≤x≤200）．
（2）當(dāng)yA=yB時，－5x+5000=3x+4680，x=40；
當(dāng)yA>yB時，－5x+5000>3x+4680，x<40；
當(dāng)yA<yB時，－5x+5000<3x+4680，x>40．
∴當(dāng)x=40時，yA=yB即兩村運費相等；當(dāng)0≤x<40時，yA>yB即B村運費較少；當(dāng)40<x≤200時，yA<yB即A村費用較少．
（3）由yB≤4830得 3x+4580≤4830．
∴x≤50．
設(shè)兩村運費之和為y，∴y=yA+yB，
即：y=－2x+9680．
又∵0≤x≤50時，y隨x增大而減小，
∴當(dāng)x=50時，y有最小值，y最小值=9580（元）．
答：當(dāng)A村調(diào)往C倉庫的柑橘重為50t，調(diào)運D倉庫為150t，B村調(diào)往C倉庫為190t，調(diào)往D倉庫110t的時候，兩村的運費之和最小，最小費用為9580元．
例2 某家庭今年3個月的煤氣量和支付費用見下表：
1月
2月
3月
氣量/m3
4
25
35
費用/元
4
14
19
該市的煤氣收費方法是：基本費+超額費+保險費，若每月用氣量不超過最低量am3，則只付3元基本費和每戶的定額保險費c元；若用氣量超過acm3，則超過的部分每立方米支付b元，并知c≤5元，求a，b，c．
【分析】數(shù)學(xué)能幫助我們解決許多生活中的實際問題，本題要求a，b，c的值，不妨設(shè)每月用氣量為x（m2），支付費用為y（元），再根據(jù)題意列出x，y的關(guān)系表達式，即
y=
由此可推斷出a，b，c的值．
【解答】設(shè)每月用氣量為xm3，支付費用為y元，根據(jù)題意得
y=
∵c≤5， ∴c+3≤8
因2月份和3月份的費用均大于8，故用氣量大于最低限度am3，將x=25，y=14；x=35，y=19分別代入②得
④－③得：10b=5 ∴b=0.5
把b=0.5代入③得a=3+2c
又因1月份的用氣量是否超過最低限度尚不明確，故當(dāng)a<4時，將x=4代入②得4=3+0.5[4－（3+2c）]+c，即
4=3.5－c+c不成立
則a≥4，此時的付款分式選①，有3+c=4
∴c=1
把x=1代入a=3+2c得a=5
∴a=5，．b=0.5，c=1．
【點評】本題要求a，b，c的值，表面看與一次函數(shù)無關(guān)，但實際上題中不僅包含函數(shù)關(guān)系，而且是一個分段函數(shù)，求分段函數(shù)解析式的關(guān)鍵是分清各段的取值范圍，其條件分別在各自的取值范圍內(nèi)使用，若有不確定的情形，須進行分類討論．
◆強化訓(xùn)練
一、填空題
1．（2008，武漢）如圖1所示，直線y=kx+b經(jīng)過A（－2，－1）和B（－3，0）兩點，則不等式組x<kx+b<0的解集為_______．
圖1 圖2 圖3
2．（2006，江蘇南通）如圖2，直線y=kx（k>0）與雙曲線y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則2x1y2－7x2y1的值等于_______．
3．如圖3所示，L甲，L乙分別表示甲走路與乙騎自行車（在同一條路上）行走的路程s與時間t的關(guān)系，觀察圖像并回答下列問題：
（1）乙出發(fā)時，與甲相距______km；
（2）走了一段路后，乙的自行車發(fā)生故障，停下來修理，修車為_____h；
（3）乙從出發(fā)起，經(jīng)過_____h與甲相遇；
（4）甲行走的路程s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式_______；
（5）如果乙自行車不出現(xiàn)故障，那么乙出發(fā)后經(jīng)過______h與甲相遇，相遇處離乙的出發(fā)點____km．并在圖中標(biāo)出其相遇點．
4．直線y=－x+a與直線y=x+b的交點坐標(biāo)為（m，8），則a+b=______．
5．已知一次函數(shù)y=2x－a與y=3x－b的圖像相交于x軸原點外一點，則=_____．
6．已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=mx+2m－7在－1≤x≤5上的函數(shù)值總是正數(shù)，則m的取值范圍是_______．
7．若A（x1，y1），B（x2，y2）為一次函數(shù)y=3x－1圖像上的兩個不同的點，且x1>x2，則y1與y2的大小關(guān)系是_______．
8．（2008，紹興）如圖4所示，已知函數(shù)y=x+b和y=ax+3的圖像交點為P，則不等式x+b>ax+3的解集為________．
圖4 圖5 圖6
二、選擇題
9．函數(shù)y1=x+1與y2=ax+b（a≠0）的圖像如圖5所示，這兩個函數(shù)圖像的交點在y軸上，那么使y1，y2的值都大于零的x的取值范圍是（ ）
A．x>－1 B．x<2 C．1<x<2 D．－1<x<2
10．（2006，河南）如圖6，一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過A，B兩點，則kx+b>0的解集是（ ）
A．x>0 B．x>2 C．x>－3 D．－3<x<2
11．小亮用作圖像的方法解二元一次方程組時，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出了相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖像L1，L2如圖所示，他解的這個方程組是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知一次函數(shù)y=x+m和y=－x+n的圖像都經(jīng)過點A（－2，0），且與x軸交于A，B兩點，那么△ABC的面積是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
13．（2006，山西太原）如圖所示的圖形都是二次函數(shù)y=ax2+bx+a2－1的圖像，若b>0，則a的值等于（ ）
A． B．－1 C． D．1
14．如圖，一次函數(shù)y=kx+6的圖像經(jīng)過A，B兩點，則kx+b>0的解集是（ ）
A．x>0 B．x<2
C．x>－3 D．－3<x<2
15．（2004，安徽?。┵從撤N三年期國債x元，到期后可得本息和y元，已知y=kx，則這種國債的年利率為（ ）
A．k B． C．k－1 D．
三、解答題
16．（2006，浙江舟山）近階段國際石油迅速猛漲，中國也受期影響，為了降低運行成本，部分出租車進行了改裝，改裝后的出租車可以用液化氣來代替汽油．假設(shè)一輛出租車日平均行程為300km．
（1）使用汽油的出租車，假設(shè)每升汽油能行駛12km，當(dāng)前的汽油價格為4.6元/L，當(dāng)行駛時間為t天時，所耗的汽油費用為p元，試寫出p關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）使用液化氣的出租車，假設(shè)每千克液化氣能行駛15～16km，當(dāng)前的液化氣價格為4.95元/kg，當(dāng)行駛時間為t天時，所耗的液化氣費用為w元，試求w的取值范圍（用t表示）；
（3）若出租車要改裝為使用液化氣，每輛需配置成本為8000元的設(shè)備，根據(jù)近階段汽油和液化氣的價位，請在（1）（2）的基礎(chǔ)上，計算出最多幾天就能收回改裝設(shè)備的成本？并利用你所學(xué)的知識簡單說明使用哪種燃料的出租車對城市的健康發(fā)展更有益．（用20字左右談?wù)劯邢耄?/font>
17．（2003，岳陽市）我市某化工廠現(xiàn)有甲種原料290kg，乙種原料212kg，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共80件．生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲種原料5kg，乙種原料1.5kg，生產(chǎn)成本是120元；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品，需要甲種原料2.5kg，乙種原料3.5kg，生產(chǎn)成本是200元．
（1）該化工廠現(xiàn)有的原料能否保證生產(chǎn)？若能的話，有幾種生產(chǎn)方案，請你設(shè)計出來；
（2）設(shè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的總成本為y元，其中一種的生產(chǎn)件數(shù)為x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案總成本最低？最低生產(chǎn)總成本是多少？
18．（2006，棗莊）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2－mx+與y=x2－mx－，這兩個二次函數(shù)的圖像中的一條與x軸交于A，B兩個不同的點．
（1）試判斷哪個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A，B兩點；
（2）若點A坐標(biāo)為（－1，0），試求點B坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，對于經(jīng)過A，B兩點的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時，y的值隨x值的增大而減?。?/font>
19．（2006，寧波市）寧波市土地利用現(xiàn)狀通過國土資源部驗收，該市在節(jié)約集約用地方面已走在全國前列．1996～2004年，市區(qū)建設(shè)用地總量從33萬畝增加到48萬畝，相應(yīng)的年GDP從295億元增加到985億元．寧波市區(qū)年GDPy（億元）與建設(shè)用地總量x（萬畝）之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）據(jù)調(diào)查2005年市區(qū)建設(shè)用地比2004年增加4萬畝，如果這些土地按以上函數(shù)關(guān)系式開發(fā)使用，那么2005年市區(qū)可以新增GDP多少億元？
（3）按以上函數(shù)關(guān)系式，該市年GDP每增加1億元，需增建設(shè)用地多少萬畝？（精確到0.001萬畝）
20．（2005，鹽城市）學(xué)校書法舉小組準(zhǔn)備到文具店購買A，B兩種類型的毛筆，文具店的銷售方法是：一次性購買A型毛筆不超過20支時，按零售價銷售；超過20支時，超過部分每支比零售價低0.4元，其余部分仍按零售價銷售．一次性購買B型毛筆不超過15支時，按零售價銷售；超過15支時，超過部分每支比零售價低0.6元，其余部分仍按零售價銷售．
（1）如果全組共有20名同學(xué)，若每人各買1支A型毛筆和2支B型毛筆，共支付145元；若每人各買2支A型毛筆和1支B型毛筆，共支付129元．這家文具店的A，B兩種類型毛筆的零售價各是多少？
（2）為了促銷，該文具店的A型毛筆除了原來的銷售方法外，同時又推出了一種新的銷售方法：無論購買多少支，一律按原零售價[即（1）中所求得的A型毛筆的零售價]的90%出售．現(xiàn)要購買A型毛筆a支（a>40），在新的銷售方法和原來的銷售方法中，應(yīng)選哪種方法購買花錢較少？并說說理由．
21．（2004，河北?。┕馊A農(nóng)機租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺．現(xiàn)將這50臺聯(lián)合收割機派往A，B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺派往A地區(qū)，20臺派往B地區(qū)．
兩地區(qū)與該農(nóng)村租賃公司商定的每天的租賃價格見下表：
每臺甲型收割機的租金
每臺乙型收割機的租金
A地區(qū)
1800元
1600元
B地區(qū)
1600元
1200元
（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為y（元），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）若使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計出來；
（3）如果要使這50臺聯(lián)合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華租賃公司提出一條合理建議．
答案:
1．－3<x<－2 2．20 3．（1）10 （2）1 （3）3 （4）s=10+t （5）1.2；18
4．16 5． 6．m>7 7．y1>y2 8．x>1
9．D 10．C 11．D 12．C 13．D 14．C 15．D
16．（1）p=300×，即p=115t．
（2）300×≤w≤300×
即≤w≤99t．
（3）115t－99t≤8000，t≤500．
即最多500元能收回改裝設(shè)備的成本．
液化氣燃料的出租車對城市健康發(fā)展更有益（感想略）．
17．（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（80－x）件，依題意得
解得34≤x≤36．
因為x為整數(shù)，所以x只能取34或35或36．
該工廠現(xiàn)有的原料能保證生產(chǎn)，有三種生產(chǎn)方案：
方案一：生產(chǎn)A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品46件；
方案二：生產(chǎn)A種產(chǎn)品35件，B種產(chǎn)品45件；
方案三：生產(chǎn)A種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件．
（2）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（80－x）件，y與x的關(guān)系為：y=120x+200（80－x），即y=－80x+16000（x=34，35，36）．
因為y隨x的增大而減小，所以x取最大值時，y有最小值．
當(dāng)x=36時，y的最小值是
y=－80×36+16000=13120．
即第三種方案總成本最低，最低生產(chǎn)成本是13120元．
18．（1）對于二次函數(shù)y=x2－mx+
∵△=（－m）2－4×1×=－m2－2<0
∴此函數(shù)圖像與x軸沒有交點．
對于二次函數(shù)y=x2－mx－
∵△=（－m）2+4×1×=3m2+4>0
∴此函數(shù)圖像與x軸有兩個不同的交點
故圖像經(jīng)過A，B兩點的二次函數(shù)為
y=x2－mx－．
（2）B（3，0）
（3）將A（－1，0）代入y=x2－mx－得m2－2m=0，m=0或m=2
若m=0，則當(dāng)x<0時，y隨x增大而減??；
若m=2，則當(dāng)x<1時，y隨x增大而減小．
19．（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由題意得，
解得k=46，b=－1223，
∴該函數(shù)關(guān)系式為y=46x－1223．
（2）由（1）知2005年的年GDP為46×（48+4）－1223=1169（億元）
∵1169－985=184（億元）
∴2005年市區(qū)相應(yīng)可以新增加GDP184億元．
（3）設(shè)連續(xù)兩年建設(shè)用地總量分別為x1萬畝和x2萬畝，相應(yīng)年GDP分別為y1億元和y2億元，滿足y2－y1=1．
則y1=46x1－1223 ③
y2=46x2－1223 ④
④－③得y2－y1=46（x2－x1）
即46（x2－x1）=1，
∴x2－x1=≈0.022（萬畝）．
即年GDP每增加1億元，需增加建設(shè)用地約0．022萬畝．
20．（1）設(shè)這家文具店A型毛筆的零售價為每支x元，B型毛筆的零售價為每支y元，則根據(jù)題意得：
解之得：
答：這家文具A型毛筆的零售價為每支2元，B型毛筆的零售價為每支3元．
（2）如果按原來的銷售方法購買a支A型毛筆共需m元，則m=20×2+（a－20）×（2－0.4）=1.6a+8；如果按新的銷售方法購買a支A型毛筆共需n元，則n=a×2×90%=1.8a，于是n－m=1.8a－（1.6a+8）=0.2a－8；
∵a>40，∴0.2a>8，∴n－m>0．可見，當(dāng)a>40時，用新的方法購買的A型毛筆花錢多．
答：用原來的方法購買花錢較少．
21．（1）若派往A地區(qū)的乙型收割機為x臺，則派往A地區(qū)的甲型收割機為（30－x）；派往B地區(qū)的乙型收割機為（30－x）臺，派往B地區(qū)的甲型收割機為（x－10）臺，
∴y=1600x+1800（30－x）+1200（30－x）+1600（x－10）=200x+74000．（10≤x≤30，x為正整數(shù)）
（2）由題意得200x+74000≥79600
解得x≥28由于10≤x≤30
∴x取28，29，30
∴有3種不同分配方案（略）．
（3）由于一次函數(shù)y=200x+7400的值y是隨x的增大而增大，所以，當(dāng)x=30時，y取最大值，如果要使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機每天獲得租金最高，只需x=30時，y=6000+74000=80000．建議：農(nóng)機租賃公司將30臺乙型收割機全部派往A地區(qū)；20臺甲型收割機全部派往B地區(qū)，可使公司獲得的租金最高．