“用五種不同的顏色涂正方體的六個面。如果相鄰的兩個面不能涂同種顏色,則共有多少種不同的涂色方法?(將正方體任意翻轉(zhuǎn)后仍然不同的涂色方法才被認為是不同的)”
這道題乍一看就不簡單,做起來更不簡單,做出正確答案的話應(yīng)該犒勞一下自己!
言歸正傳,題目只給出了一個限制條件——相鄰兩個面不能涂同種顏色,剩下就需要我們插上想象的翅膀了。
上圖所示的正方體中,相匯在頂點C的三個面必然用到了三種不同的顏色(因為只用一種或兩種顏色都會出現(xiàn)相鄰兩個面涂成同一種顏色的矛盾?。?,所以至少需要三種顏色涂。
1. 5種顏色取3種顏色
分別涂正方體相對的兩個面,從5種顏色中選擇3種顏色的方法數(shù)等于從5種顏色中選擇2種顏色的方法數(shù)(因為它們的取法一一對應(yīng)),所以共有:5 × 4 ÷ 2 = 10(種)方法
2. 5種顏色取4種顏色
先確定2種顏色染兩組對面(有10種取法)、剩下2種顏色染一組對面(有3種取法),所以共有:10 × 3 = 30(種)方法
3. 5種顏色都使用
先確定1種顏色染一組對面(有5種取法),剩下的4種顏色(用a、b、c和d表示)染剩下四個面,有abcd、acbd和acdb三種涂法(選擇a的相對面分別為c、b、d的情況,其余情況可以通過旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)),共有:5 × 3 = 15(種)方法
綜上,滿足條件的涂法共有:10 + 30 + 15 = 55(種)。
本題官方的答案是15種(只考慮5種顏色全使用的情況),但樂博士的答案更有說服力,所以追求真理的道路上千萬不要盲目迷信權(quán)威呦!
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